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Géométrie dans l’espace

Ce que je vais apprendre dans ce chapitre

  • Vocabulaire (Solides, faces, sommets arêtes).
  • Développements (cubes, parallélépipèdes rectangle, prisme droit, cylindre, pyramide régulière).
  • Propriétés des solides (cubes, parallélépipèdes rectangles, prisme droit, cylindre, pyramide, pyramide régulière, cône, sphère). 

Table des matières

Vocabulaire

Les solides - Définition

Un solide est un objet qui possèdent de nombreuse définition et il est donc difficile de donner une définition rigoureuse. Nous allons vous en proposer quatre.

Définition « commune » : Un solide est une figure à trois dimensions qui est limitée par une surface       fermée (et donc mesurable) et possède un volume mesurable. Un solide    possède plusieurs faces qui peuvent être planes ou courbe.

Définition « physique » : Le solide est un corps indéformable.

Définition « euclidienne » : Un objet est un solide s’il possède une longueur, une largeur et une profondeur et si la limite de l’objet est une surface.

Définition « leibnizienne » : Le chemin suivi par un point se déplaçant vers un autre est une ligne. (…) Le déplacement d’une ligne dont les points ne se remplacent pas sans cesse donne une surface. Le déplacement d’une surface dont les points ne se remplacent pas sans cesse donne un solide.

Il existe deux catégories de solides :

  • Les polyèdres : Solides dont toutes les faces sont des polygones (par ex. cubes, parallélépipède rectangle…) et possédant des sommets, des faces et des arêtes.
  • Les non-polyèdres : Solides possédant au moins une surface courbe c’est-à-dire que au moins une « face » du solide n’est pas un polygone. (cylindre, sphère…)

Exemple

Face, arrêt et sommet d’un solide - Définition

La face : une face d’un solide est une surface plane ou courbe d’un objet

L’arête : une arête est la ligne d’intersection (côté commun) de deux surfaces (planes et/ou courbes)

Le sommet : un sommet s’un solide est un point de rencontre entre au moins trois arêtes (à l’exception du sommet du cône).

Remarque!

Tous les solides possèdent au moins une face. Un solide peut posséder des faces, des arêtes et des sommets ou alors des faces, des arêtes mais pas de sommets ou finalement uniquement une face.

Exemple

Développement et propriétés des solides

Définition

Le développement d’un solide, aussi appelé patron, est une représentation plane de toutes les surfaces d’un solide faisant apparaitre toutes ces surfaces dans un même plan, de telle sorte que chaque surface soit reliée à au moins une autre par une arête commune et que toutes les faces soient ainsi reliées entre elle. Le développement d’un solide permet de construire ce solide après découpage et pliage. Le nombre de faces du développement est exactement celui du solide.

Remarque : le développement d’un solide n’est pas unique.

Pour reconnaître si le développement d’un solide est correct il faut vérifier que :

  • le nombre et la formes des faces soient correct.
  • les arêtes amenées à se superposer lors du pliage soient de la même longueur.
  • que deux faces ne se superposent pas.

puis imaginer mentalement si le pliage reconstitue le solide.

Exemple

Le cube

Un cube est un polyèdre possédant six faces. Chacune de ces faces sont des carrés identiques. Un cube est à la fois un parallélépipède rectangle particulier et un prisme droit particulier.

Un cube possède 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.

Le cube - Développement

Autres développements possibles du cube :

Le parallélépipède rectangle (ou pavé droit)

Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un polyèdre possédant six faces. Chacune de ces faces sont des rectangles et les faces opposées sont superposables. Un parallélépipède rectangle est un prisme droit particulier.

Un parallélépipède rectangle possède 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.

Exemple

Le parallélépipède rectangle - Développement

Le développement d’un cube est formé de six rectangles. Il existe aux plus trois paires de rectangles différents.

Exemple

Prisme droit

Un prisme droit est un polyèdre possédant deux faces polygonales, parallèles et superposables qui sont appelées les bases du prisme droit et des faces latérales rectangulaires. La distance entre les deux bases est appelée hauteur du prisme droit. De plus toutes les faces latérales d’un prisme droit sont perpendiculaires aux deux bases. Le nombre de faces latérales (rectangles) est égale au nombre de côtés de la base.

Un prisme droit possède un nombre variable de faces, arêtes et sommet.

Exemple - Prisme droit à base triangulaire

Prisme droit - Développement

Le développement d’un prisme droit est formé :

  • de deux polygones qui sont les bases du prisme droit.
  • de rectangles dont une des dimensions est la hauteur du prisme droit et l’autre dimension est égale au côté correspondant de la base.

Exemple

Développement d’un prisme droit à base pentagonale.

Cylindre droit

Un cylindre droit est un solide qui n’est pas un polyèdre. Un cylindre droit possède deux faces qui sont des disques superposable et parallèles entre eux appelés bases du cylindre ainsi qu’une surface courbe qui est la face latérale. La distance entre les deux bases est appelée hauteur du cylindre.

Un cylindre droit possède 2 faces planes, 1 surface courbe, 2 arêtes et 0 sommet.

Exemple

Cylindre droit - Développement

Le développement d’un cylindre droit est formé de deux disque isométrique qui sont les bases du cylindre et d’un rectangle qui correspond à la face latérale. Une des dimensions du rectangle est égale au périmètre d’un des disques de base et l’autre dimension est la hauteur du cylindre. Les deux disques sont tangents aux côtés du rectangle égale au périmètre d’un disque.

Exemple

Pyramide

Une pyramide est un polyèdre dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles ayant un sommet commun. Ce sommet commun est appelé sommet principal de la pyramide. La hauteur de la pyramide est définie par la distance entre le sommet principal et la base de la pyramide

Une pyramide est dite régulière si la base de celle-ci est un polygone régulier et si ces faces sont des triangles isocèles. Le nombre de faces latérale (triangles) est égale au nombre de côtés de la base. La distance

Une pyramide possède un nombre variable de faces, arêtes et sommet.

Remarque!

Si la base de la pyramide est un triangle équilatéral alors la pyramide est appelée tétraèdre.

Attention!

La hauteur de la pyramide n’est pas égale à la hauteur d’une des faces latérales.

Exemple

Développement d’une pyramide régulière

Le développement d’une pyramide régulière est formé d’un polygone régulier qui est la base de la pyramide et de triangles isocèles. Les triangles isocèles sont les faces latérales de la pyramide et les côtés isométrique sont les côtés qui ne sont pas correspondant à la base.

Exemple

Cône droit ou cône de révolution

Un cône droit est un solide qui n’est pas un polyèdre.  Un cône de révolution est obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d’un côté de l’angle droit. Cette rotation crée une base qui est un disque et une face latérale courbe. Le rayon du disque est de même longueur que le côté de l’angle droit qui n’a pas servi d’axe de rotation. La distance entre le sommet du cône et la base est la hauteur du cône. La hauteur d’un cône de révolution ou d’un cône droit passe par le centre de la base.

Un cône de révolution possède 1 face plane (base), 1 surface courbe, 1 arête et 1 sommet.

Exemple

Cône obtenu en faisant tourner le triangle rectangle SOM autour du côté SO :

Sphère

Une sphère est l’ensemble des points de l’espace situé à égale distance d’un point. Ce point est appelé centre de la sphère et la distance est appelée le rayon de la sphère. La sphère est ainsi une surface (aire).

La sphère n’est ainsi pas un solide mais une surface.

Exemple

Sphère de centre O, de rayon OA (= OB = OC = OA’ = OB’) et de diamètre AA’ (= BB’)

Remarque!

Seuls les points qui sont distant d’une longueur égale à OA du centre O appartiennent à la sphère.

Boule

Une boule est un solide qui n’est pas un polyèdre.  Une boule est l’ensemble de points de l’espace délimités par une sphère. Le centre de la boule est le même que celui de la sphère et le rayon de la boule est également le même que celui de la sphère.

Une boule possède 1 surface courbe,  0 arête et 0 sommet.

Exemple

Boule de centre O, de rayon OA (= OB = OC = OA’ = OB’) et de diamètre AA’ (= BB’)

Remarque!

Tous les points qui sont distant d’une longueur inférieure ou égale à OA du centre O appartiennent à la boule.

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