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Trigonométrie

Ce que je vais apprendre dans ce chapitre

  • Savoir calculer le sinus, le cosinus et la tangente d’un triangle rectangle.
  • Calculer des longueurs et des angles à l’aide de la trigonométrie.

Vocabulaire

Côté opposé à un angle - Définition

Un côté opposé à un angle est le côté en face de cet angle.

Exemple

Dans le triangle rectangle KLM le triangle opposé

à l’angle α est le côté LK

Côté adjacent à un angle - Définition

Dans un triangle rectangle le côté adjacent à un angle (qui n’est pas l’angle droit) est le côté qui « touche » l’angle et qui n’est pas l’hypoténuse.

Dans le triangle rectangle KLM le triangle adjacent

à l’angle α est le côté KM.

Exercice

Où se situent les côtés opposés et adjacents aux angle α, β et γ dans les trois triangles rectangles suivants ?

Solution

Dans le triangle DEF :

  • le côté opposé de l’angle α est le côté DE.
  • le côté adjacent de l’angle α est le côté DF.

 

Dans le triangle HIJ :

  • le côté opposé de l’angle β est le côté HI.
  • le côté adjacent de l’angle β est le côté HJ.

 

Dans le triangle OPQ :

  • le côté opposé de l’angle γ est le côté OP.
  • le côté adjacent de l’angle γ est le côté OQ.

Trigonométrie

Définition

La trigonométrie est la science de la mesure des triangles.  Elle permet d’établir des relations entre les longueurs des côtés et les mesures des angles d’un triangle. Nous nous intéressons uniquement au triangle rectangle.

Dans un triangle rectangle contenant un angle α < 90° les formules suivante sont appelées « les identités trigonométriques » :

\( sinus (\alpha) = \frac{longueur\, du \, cote \, oppose\, a\, \alpha}{longueur\, de\, l’hypothenuse}\)

\( cosinus (\alpha) = \frac{longueur\, du \, cote \, adjacent\, a\, \alpha}{longueur\, de\, l’hypothenuse}\)

\( tangente (\alpha) = \frac{longueur\, du \, cote \, oppose\, a\, \alpha}{longueur\, du\, cote\, adjacent}\)

Les formules sont la plupart du temps écrites de la façon suivante :

\( sin (\alpha) = \frac{ opp}{hyp}\)

\( cos (\alpha) = \frac{ adj}{hyp}\)

\( tan (\alpha) = \frac{opp}{adj}\)

Remarque!

Il existe de nombreux moyen mémo-technique de se rappeler des formules. Les plus connues sont les abréviations :

  • SinOppHyp \( sin (\alpha) = \frac{ opp}{hyp}\); CosAdjHyp \( cos (\alpha) = \frac{ adj}{hyp}\); TanOppAdj \( tan (\alpha) = \frac{opp}{adj}\)
  • SOHCAHTOA SOH: \( sin (\alpha) = \frac{ opp}{hyp}\); CAH \( cos (\alpha) = \frac{ adj}{hyp}\); TOA \( tan (\alpha) = \frac{opp}{adj}\)

Attention!

Les formules de trigonométries présentées dans ce chapitre sont uniquement applicables si le triangle est rectangle.

Exemple

On sait que : Le triangle ABC est rectangle en B, son hypoténuse est le côté [BC].

\( sinus (\alpha) = \frac{longueur\, du \, cote \, oppose\, a\, \alpha}{longueur\, de\, l’hypothenuse}\)

\( cosinus (\alpha) = \frac{longueur\, du \, cote \, adjacent\, a\, \alpha}{longueur\, de\, l’hypothenuse}\)

\( tangente (\alpha) = \frac{longueur\, du \, cote \, oppose\, a\, \alpha}{longueur\, du\, cote\, adjacent}\)

On en déduit les formules suivantes: 

\( sin (\beta) = \frac{ BC}{AC}\)          \( sin (\gamma) = \frac{ AB}{AC}\)

\( cos (\beta) = \frac{ AB}{AC}\)          \( cos (\gamma) = \frac{ BC}{AC}\)

\( tan (\beta) = \frac{BC}{AB}\)          \( tan (\gamma) = \frac{AB}{BC}\)

Remarque!

On constate que \(sin(\beta) = cos(\gamma), \, cos(\beta) = sin(\gamma)\, et \, tan(\beta) = \frac{1}{tan(\gamma)}\)

Trigonométrie - Calculer le sinus

Exemple

Attention!

Selon la calculatrice que vous avez vous ne pouvez pas écrire le calcul de la même façon que manuscrite. Voir dans les exercices l’écriture « calculatrice ». L’écriture « calculatrice » n’est en aucun cas une écriture mathématique et NE DOIT PAS remplacer l’écriture mathématiques sur vos réponses.

Exercices

Exercice 1: Trouver la mesure de l’angle

Soit le triangle ABC rectangle en A.

Soit α l’angle .

AB mesure 2 cm et BC mesure 3,61 cm.

Quelle est la mesure de l’angle α ?

Solution

Exercice 2: Trouver la mesure du côté opposé

Soit le triangle ABC rectangle en A.

Soit c le côté AB.

L’angle  (α) mesure 33,69° et le côté BC mesure 3,61 cm.

Combien mesure c ?

Solution

Exercice 3 : Trouver la mesure de l’hypoténuse

Soit le triangle ABC rectangle en A. Soit h le côté BC (hypoténuse). L’angle (α) mesure 33,69° et le côté AB mesure 2 cm. Combien mesure h ?

Trigonométrie - Calculer le cosinus

Exemple

Exercices

Exercice 1 : Trouver la mesure de l’angle

Soit le triangle ABC rectangle en A.

Soit α l’angle \(\widehat{ACB}\).

AC mesure 3 cm et BC mesure 3,61 cm.

Quelle est la mesure de l’angle α ?

Exercice 2 : Trouver la mesure du côté adjacent

Soit le triangle ABC rectangle en A.

Soit b le côté AC.

L’angle \(\widehat{ACB}\) mesure 33.69° et le côté BC mesure 3.61 cm.

Combien mesure b?

Exercice 3 : Trouver la mesure de l’hypoténuse

Soit le triangle ABC rectangle en A.

Soit h le côté BC (hypoténuse).

L’angle \(\widehat{ACB}\) mesure 33.69° et le côté AC mesure 2 cm.

Combien mesure h?

Trigonométrie - Calculer la tangente

Exemple

Exercices

Exercice 1 : Trouver la mesure de l’angle

Soit le triangle ABC rectangle en A.

Soit α l’angle \(\widehat{ACB}\).

AB mesure 2 cm et AC mesure 3 cm.

Quelle est la mesure de l’angle α ?

Exercice 2 : Trouver la mesure du côté opposé

Soit le triangle ABC rectangle en A.

Soit c le côté AB.

L’angle \(\widehat{ACB} (\alpha)\) mesure 33.69° et le côté AC mesure 3 cm.

Combien mesure c ?

Exercice 3 : Trouver la mesure du côté opposé

Soit le triangle ABC rectangle en A.

Soit b le côté AC.

L’angle \(\widehat{ACB} (\alpha)\) mesure 33.69° et le côté AB mesure 2 cm.

Combien mesure b ?

Utiliser la trigonométrie en présence d'un triangle rectangle

J’utilise les formules du sinus si :

  • Je connais la mesure du côté opposé d’un angle autre que l’angle droit et la mesure de l’hypoténuse du triangle rectangle et je cherche la mesure de cet angle.
  • Je connais la mesure de l’hypoténuse d’un triangle rectangle et la mesure d’un angle autre que l’angle droit et je cherche la mesure du côté opposé de cet angle.
  • Je connais la mesure d’un angle autre que l’angle droit et la mesure du côté opposé de cet angle je cherche la mesure de l’hypoténuse du triangle rectangle.

J’utilise les formules du cosinus si :

  • Je connais la mesure du côté adjacent d’un angle autre que l’angle droit et la mesure de l’hypoténuse du triangle rectangle et je cherche la mesure de cet angle.
  • Je connais la mesure de l’hypoténuse d’un triangle rectangle et la mesure d’un angle autre que l’angle droit et je cherche la mesure du côté adjacent de cet angle.
  • Je connais la mesure d’un angle autre que l’angle droit et la mesure du côté adjacent de cet angle je cherche la mesure de l’hypoténuse du triangle rectangle.

J’utilise les formules de la tangente si :

  • Je connais la mesure des côtés opposé et adjacent d’un angle autre que l’angle droit et je cherche la mesure de cet angle.
  • Je connais la mesure d’un angle autre que l’angle droit et la mesure du côté opposé de cet angle et je cherche la mesure du côté adjacent de cet angle.
  • Je connais la mesure d’un angle autre que l’angle droit et la mesure du côté adjacent de cet angle je cherche la mesure du côté opposé de cet angle.

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