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Théorème de Thalès

Ce que je vais apprendre dans ce chapitre

  • Connaître le fonctionnement et les effets d’un agrandissement /réduction sur une figure plane.
  • Connaître le théorème de Thalès et sa réciproque. 
  • Utiliser le théorème de Thalès pour calculer des longueurs. 
  • Utiliser le théorème de Thalès pour déterminer su deux droites sont parallèles.

Triangles semblables

Définition

Deux triangles sont semblables entre eux s’ils ont les trois même angles.

Remarque : l’orientation et la taille du triangle n’ont pas d’importance.

Les angles égaux entre deux triangles sont des angles correspondants.

Si deux triangles ont deux paires d’angles égaux alors la troisième paire d’angle sera obligatoirement égale et les deux triangles seront semblables.

Exemple

Les triangles ABC et DEF sont semblables car ils ont les trois mêmes angles.

L’angle \( \widehat{BAC}\) est égal à l’angle \( \widehat{EDF}\). Les angles \( \widehat{BAC}\) et \( \widehat{EDF}\) sont donc correspondants.

L’angle \( \widehat{ABC}\) est égal à l’angle \( \widehat{DEF}\). Les angles \( \widehat{ABC}\) et \( \widehat{DEF}\) sont donc correspondants.

L’angle \( \widehat{ACB}\) est égal à l’angle \( \widehat{EFD}\). Les angles \( \widehat{ACB}\) et \( \widehat{EFD}\) sont donc correspondants.

Attention!

2 triangles ayant un sommet commun et ayant un alignement entre ce sommet commun et les deux paires de sommet correspondant seront obligatoirement semblables.

Cas 1 : AB // HI

Les triangles ABC et HIC sont des triangles semblables.

Cas 2 : AB // JK

Les triangles ABC et CKL sont des triangles semblables.

Théorème de Thalès

Définition

Si deux triangles sont semblables, alors le quotient d’un côté d’un triangle par le côté correspondant sur le triangle semblable sera identique pour chaque paire de segment.

ATTENTION : Il faut toujours garder le même triangle au numérateur.

Remarque!

Le théorème de Thalès s’applique sur des triangles quelconques.
Le théorème de Thalès met en relation les longueurs des côtés de deux triangles semblables.
Il est ainsi possible de trouver la mesure d’un côté d’un triangle si on connaît la mesure du côté correspondant dans le triangle semblable ainsi que les mesures d’un couple de côtés correspondant.

Astuce!

Quand on écrit l’égalité de Thalès on met la valeur inconnue au numérateur.

Exemple

On sait que : Les triangle ABC et DEF sont semblables. Le côté AB correspond au côté DE (car compris entre les mêmes angles).

Le côté BC correspond au côté EF.

Le côté AC correspond au côté DF.

Or, « Si deux triangles sont semblables, alors le quotient d’un côté d’un triangle par le côté correspondant sur le triangle semblable sera identique pour chaque paire de segment ».

On en déduit que : \( \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF}\)

Attention!

Il faut garder les mesures du même triangle au numérateur. Ici les mesures du triangle ABC sont au numérateur et les mesures du triangles DEF sont au dénominateur.

Exemple - cas particulier

On sait que : Les triangle ABC et AMN sont semblables.

Le côté AB correspond au côté AM

Le côté BC correspond au côté MN.

Le côté AC correspond au côté AM.

Or, « Si deux triangles sont semblables, alors le quotient d’un côté d’un triangle par le côté correspondant sur le triangle semblable sera identique pour chaque paire de segment ».

On en déduit que : \( \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{MN} = \frac{AB}{AM}\)

Exercices

Exercice 1

Soit les triangle ABC et DEF deux triangles semblables.

AB = 12 cm, BC = 15 cm, DE = 8 cm. Combien mesure le côté EF ?

Solution

Les triangles ABC et DEF sont semblables. Nous nous intéressons aux côtés AB, BC, DE et EF.

Le côté AB correspond au côté DE.

Le côté BC correspond au côté EF.

Comme on cherche le côté EF il est plus facile d’écrire l’égalité de Thalès avec EF au numérateur : \( \frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} => \frac{DE}{AB} \cdot BC = EF \)

\( \frac{8}{12} = \cdot 15 = EF \)

10 = EF

Exercice 2

Soit les triangle ABC et AMN deux triangles semblables.

AM = 3 cm, AB = 12 cm, MN = 8 cm. Combien mesure le côté BC ?

Solution

Les triangles ABC et AMN sont semblables. Nous nous intéressons aux côtés AB, AM, MN et BC.

Le côté AB correspond au côté BC.

Le côté AM correspond au côté MN.

Comme on cherche le côté BC il est plus facile d’écrire l’égalité de Thalès avec BC au numérateur :

\( \frac{BC}{MN} = \frac{AB}{AM} => BC =  \frac{AB}{AM} \cdot \, MN \)

\( BC = \frac{12}{3} \, \cdot \, 8 = 32\)

Le côté BC mesure 32 cm.

Exercice 3

Soit les triangle ABC et AMN deux triangles semblables.

AN = 7 cm, MN = 13 cm, AC = 10,5 cm. Combien mesure le côté BC ?

\( \frac{BC}{MN} = \frac{AC}{AN} => BC =  \frac{AC}{AN} \cdot \, MN \)

\( BC = \frac{10.5}{7} \, \cdot \, 13 = 19.5\)

Le côté BC mesure 19.5 cm.

Prouver que deux triangles sont semblables en utilisant la réciproque du théorème de Thalès

Si le quotient d’un côté d’un triangle par le côté correspondant sur le triangle semblable est identique pour chaque paire de segment, alors les triangles sont semblables.

Soit deux triangles ABC et DEF. AB et DE sont les plus petits côtés de leurs triangles respectifs, AC et DF sont les côtés moyens de leurs triangles respectifs et BC et EF sont les plus grands côtés de leurs triangles respectifs.

Si \( \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} \cdot \, MN \)  alors les triangles ABC et DEF sont semblables.

Remarque!

Si les deux triangles ont un sommet commun alors les côtés opposés à ce sommet commun de chaque triangle sont parallèles entre eux.

Exemple

Les triangles ABC et CKL sont semblables. La réciproque du théorème de Thalès est vérifiée car: 

\( \frac{AB}{KL} = \frac{6}{7.5} =  0.8; \frac{AC}{CK} = \frac{8}{10} = 0.8; \frac{BC}{CL} = \frac{12}{15} = 0.8 \)

et donc \( \frac{AB}{KL} = \frac{AC}{CK} =  \frac{BC}{CL} = 0.8 \)

Exercices

Les triangles ABC et DEF sont-ils semblables ?

Prouver que deux triangles ne sont pas semblables en utilisant la contraposée du théorème de Thalès

Si le quotient d’un côté d’un triangle par le côté correspondant sur le triangle semblable n’est pas identique pour chaque paire de segment, alors les triangles ne sont pas semblables.

Soit deux triangles ABC et DEF. AB et DE sont les plus petits côtés de leurs triangles respectifs, AC et DF sont les côtés moyens de leurs triangles respectifs et BC et EF sont les plus grands côtés de leurs triangles respectifs.

Si \( \frac{AB}{DE} \neq \frac{AC}{DF} et/ou \frac{AC}{DE} \neq  \frac{BC}{EF} et/ou \frac{AB}{DE} \neq \frac{BC}{EF} \)  alors les triangles ABC et DEF ne sont pas semblables.

Remarque!

Il suffit de vérifier qu’une des égalités n’est pas vérifiée pour conclure que les triangles ne sont pas semblables.

Exemple

Les triangles ABC et CHI ne sont pas semblables car la contraposée du théorème de Thalès est vérifiée:

\( \frac{AB}{HI} = \frac{16.5}{32} = 0.515625 ; \frac{AC}{CH} = \frac{7.5}{15} = 0.5; \frac{BC}{HI} = \frac{12}{24} = 0.5\)

et donc \(\frac{AB}{HI}\neq \frac{AC}{CH} = \frac{BC}{CL}\)

Exercices

Les triangles ABC et BDE sont-ils semblables ?

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