Ce que je vais apprendre dans ce chapitre
- Construire une symétrie centrale, reconnaître une symétrie centrale et identifier les propriétés d’une symétrie centrale.
Symétrie centrale - Définition
La symétrie centrale est un déplacement (d’une figure) qui conserve :
- sa forme
- ses mesures (mesures et angles)
- son orientation
- sa direction (et donc le parallélisme)
La symétrie centrale ne conserve pas :
- Le sens de ses vecteurs.
Une symétrie centrale est définie par un centre de symétrie. Une symétrie centrale de centre O d’une figure consiste à faire tourner cette figure d’un demi-tour autour du point O. Le centre O sera le point milieu de chaque segment reliant un point de la figure initiale et le point homologue de la figure image.
En d’autres mots, on qualifie d’homologues les points qui occupent la même position dans les figures initiale et image d’une symétrie centrale.
Afin de distinguer les points homologues de la figure initiale et de la figure image, on utilise le symbole ‘ (nommé prime). Ainsi, le sommet A de la figure initiale devient le sommet A’ (A prime) dans la figure image.
Exemple
Notation
Une symétrie d’une figure f1 vers son image f1’ par un centre de symétrie O est notée : \(f1 \overset{S(o)}{\rightarrow} f1’\)
Construction d’une image par symétrie centrale si l’on connaît un point homologue
On peut tracer l’image d’une figure par symétrie centrale en suivant les étapes suivantes :
Règle
- Tracer un segment entre le sommet de la figure initiale et le sommet homologue.
- A l’aide d’une règle trouver le point milieu du segment précédemment construit. Pour plus de précision tracer la médiatrice de ce segment à l’aide d’un compas et d’une règle. Nommer le centre de symétrie O.
- Tracer des droites passant par les sommets de la figure initiale et le centre de symétrie O.
- A l’aide d’un compas ou d’une règle prendre la mesure entre un sommet de la figure initiale et le centre de symétrie O sur la droite passant par ce même sommet de la figure initiale et reporter cette mesure à partir du centre de symétrie sur la droite passant par ce sommet pour obtenir le point homologue sur la figure image. Répéter l’opération pour tous les sommets de la figure initiale. Nommer les sommets images obtenus à l’aide du symbole « ‘ ».
- Relier les sommets images dans le bon ordre pour créer la figure image.
Exemple
Supposons que l’on veut tracer la figure image du polygone ci-dessous par symétrie centrale en connaissant le point homologue d’un de ces sommets, on peut suivre les étapes suivantes :
1. Tracer un segment entre le sommet de la figure initiale et le sommet homologue.
2. A l’aide d’une règle trouver le point milieu du segment précédemment construit. Pour plus de précision tracer la médiatrice de ce segment à l’aide d’un compas et d’une règle. Nommer le centre de symétrie O.
3. Tracer des droites passant par les sommets de la figure initiale et le centre de symétrie O.
4. A l’aide d’un compas ou d’une règle, prendre la mesure entre un sommet de la figure initiale et le centre de symétrie O sur la droite passant par ce même sommet de la figure initiale.
Reporter cette mesure à partir du centre de symétrie sur la droite passant par ce sommet pour obtenir le point homologue sur la figure image.
Répéter l’opération pour tous les sommets de la figure initiale.
Nommer les sommets images obtenus à l’aide du symbole « ‘ ».
5. Relier les sommets images dans le bon ordre pour créer la figure image (f1’).
Construction d’une image par symétrie centrale si l’on connaît le centre de symétrie O
Même méthode que précédemment à partir de la troisième étape.
Exemple
Supposons que l’on veut tracer la figure image du polygone ci-dessous par symétrie centrale en connaissant le point homologue d’un de ces sommets, on peut suivre les étapes suivantes :
3. Tracer des droites passant par les sommets de la figure initiale et le centre de symétrie O.
4. A l’aide d’un compas ou d’une règle prendre la mesure entre un sommet de la figure initiale et le centre de symétrie O sur la droite passant par ce même sommet de la figure initiale et reporter cette mesure à partir du centre de symétrie sur la droite passant par ce sommet pour obtenir le point homologue sur la figure image. Répéter l’opération pour tous les sommets de la figure initiale. Nommer les sommets images obtenus à l’aide du symbole « ‘ ».
5. Relier les sommets images dans le bon ordre pour créer la figure image (f1’).
Reconnaître une symétrie centrale et trouver le centre de symétrie
Si les segments définis par les sommets de la figure initiale et les sommets homologues de la figure image s’intersectent tous au même endroit et que la figure homologue est isométrique à la figure initiale alors la transformation est une symétrie centrale et le point d’intersection des segments est le centre de symétrie.
Exemple
Réponse : Oui car si l’on trace les segments AA’, BB’, CC’, DD’, EE’, FF’, GG’ et HH’ ceux-ci s’intersectent tous au même endroit. Cette intersection est le centre de symétrie. De plus, la figure initiale et son image sont isométriques.
