Ce que je vais apprendre dans ce chapitre
Construire une symétrie axiale, reconnaître une symétrie axiale et identifier les propriétés d’une symétrie axiale.
Symétrie axiale - Définition
La symétrie axiale est un déplacement (d’une figure) qui conserve :
- sa forme
- ses mesures (mesures et angles)
- le parallélisme
- La symétrie axiale ne conserve pas :
- son orientation
- le sens de ses vecteurs (sauf pour les vecteurs parallèles à l’axe de symétrie)
- sa direction (sauf pour les droites perpendiculaires ou parallèles à l’axe de symétrie)
Une symétrie axiale est définie par un axe de symétrie. Si l’on plie une feuille le long de l’axe de symétrie une forme et sa transformation par symétrie axiale se superposent. Chaque point de la figure initiale se superposent sur les points homologues de la figure image.
En d’autres mots, on qualifie d’homologues les points qui occupent la même position dans les figures initiales et image d’une symétrie axiale…
Afin de distinguer les points homologues de la figure initiale et de la figure image, on utilise le symbole ‘ (nommé prime). Ainsi, le sommet A de la figure initiale devient le sommet A’ dans la figure image.
Exemple
Notation
Une symétrie d’une figure f1 vers son image f1’ par un axe de symétrie d est notée : \(f \overset{S(d))}{\rightarrow}\, f1’\)
Construction d’une image par symétrie axiale si l’on connaît un point homologue
On peut tracer l’image d’une figure par symétrie axiale en suivant les étapes suivantes :
Règle
- A l’aide d’une règle tracer un segment entre le sommet de la forme image et son sommet homologue sur la forme initiale.
- Tracer, à l’aide du compas et d’une règle, la médiatrice du segment dessiner précédemment. Cette médiatrice est l’axe de symétrie. Nommer l’axe de symétrie d.
- Tracer, à l’aide d’une règle et d’une équerre des droites parallèles au segment dessiner précédemment passant par les sommets autre sommet de la forme initiale.
- A l’aide d’un compas ou d’une règle prendre la mesure entre un sommet de la figure initiale et l’axe d sur la droite passant par ce même sommet de la figure initiale et reporter cette mesure à partir de l’axe sur la droite passant par ce sommet pour obtenir le point homologue sur la figure image. Répéter l’opération pour tous les sommets de la figure initiale. Nommer les sommets images obtenus à l’aide du symbole « ‘ ».
- Relier les sommets images dans le bon ordre pour créer la figure image.
Exemple
Supposons que l’on veut tracer la figure image du polygone ci-dessous par symétrie axiale en connaissant le point homologue d’un de ces sommets, on peut suivre les étapes suivantes :
1. A l’aide d’une règle tracer un segment entre le sommet de la forme image et son sommet homologue sur la forme initiale.
2. Tracer, à l’aide du compas et d’une règle, la médiatrice du segment dessiner précédemment. Cette médiatrice est l’axe de symétrie. Nommer l’axe de symétrie d.
3. Tracer, à l’aide d’une règle et d’une équerre des droites parallèles au segment dessiner précédemment passant par les sommets autre sommet de la forme initiale.
4. A l’aide d’un compas ou d’une règle prendre la mesure entre un sommet de la figure initiale et l’axe d sur la droite passant par ce même sommet de la figure initiale et reporter cette mesure à partir de l’axe sur la droite passant par ce sommet pour obtenir le point homologue sur la figure image. Répéter l’opération pour tous les sommets de la figure initiale. Nommer les sommets images obtenus à l’aide du symbole « ‘ ».
5. Relier les sommets images dans le bon ordre pour créer la figure image (f1’).
Construction d’une image par symétrie axiale si l’on connaît l’axe de symétrie
On peut tracer l’image d’une figure par symétrie axiale en suivant les étapes suivantes :
Règle
- Tracer à l’aide d’une règle et d’une équerre les droites perpendiculaire à l’axe de symétrie passant par chacun des sommets de la figure initiale.
- A l’aide d’un compas ou d’une règle prendre la mesure entre un sommet de la figure initiale et l’axe de symétrie sur la droite passant par ce même sommet et reporter cette mesure à partir de l’axe de symétrie sur la droite passant par ce sommet pour obtenir le point homologue. Répéter l’opération pour tous les sommets de la figure initiale. Nommer les sommets images obtenus à l’aide du symbole « ‘ ».
Relier les sommets images dans le bon ordre pour créer la figure image.
Exemple
Supposons que l’on veut tracer la figure image du polygone ci-dessous par symétrie axiale en connaissant l’axe de symétrie, on peut suivre les étapes suivantes :
1. Tracer à l’aide d’une règle et d’une équerre les droites perpendiculaire à l’axe de symétrie passant par chacun des sommets de la figure initiale.
2. A l’aide d’un compas ou d’une règle prendre la mesure entre un sommet de la figure initiale et l’axe de symétrie sur la droite passant par ce même sommet et reporter cette mesure à partir de l’axe de symétrie sur la droite passant par ce sommet pour obtenir le point homologue. Répéter l’opération pour tous les sommets de la figure initiale. Nommer les sommets images obtenus à l’aide du symbole « ‘ ».
3. Relier les sommets images dans le bon ordre pour créer la figure image (f1’).
Construction d’une image par symétrie axiale si l’on connaît l’axe de symétrie
Si les médiatrices des segments défini par les sommets de la figure initiale et les sommets homologues de la figure image sont toutes identique alors la transformation est une symétrie axiale et l’axe de symétrie est la médiatrice de chacun des segments.
Exemple
Est-ce que la transformation suivante est une symétrie axiale ?
Réponse : Oui car si l’on construit les médiatrices des segments AA’, BB’, CC’ et DD’ celles-ci sont identiques. Ces médiatrices sont l’axe de symétrie.
