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Rotation

Ce que je vais apprendre dans ce chapitre

  • Construire une rotation, reconnaître une rotation et identifier les propriétés d’une rotation.

Rotation - Définition

La rotation est un déplacement (d’une figure) qui conserve :

  • sa forme
  • ses mesures (mesures et angles)
  • son orientation
  • le parallélisme

La rotation ne conserve pas :

  • la direction (sauf si l’angle mesure 180° ou 360°)
  • le sens de ses vecteurs. (sauf si l’angle mesure 360°)

Une rotation est définie par un centre de rotation et un angle de rotation. 

Une rotation de centre O d’une figure consiste à faire tourner cette figure d’un angle défini autour du point O.

Si l’angle de rotation est positif la rotation se fera dans le sens anti-horaire (    ) alors que si l’angle de rotation est négatif la rotation se fera dans le sens horaire ( ).

Le centre de rotation O est à égal distance d’un point de la figure initiale et du point homologue de la figure image.

L’angle de rotation est l’angle entre le segment défini par le centre de rotation et un point de la figure initiale et le centre de rotation et le point homologue sur la figure image

En d’autres mots, on qualifie d’homologues les points qui occupent la même position dans les figures initiale et image d’une rotation.

Afin de distinguer les points homologues de la figure initiale et de la figure image, on utilise le symbole ‘ (nommé prime). Ainsi, le sommet A de la figure initiale devient le sommet A’ dans la figure image.

Exemple

Notation

Une rotation d’une figure f1 vers son image f1’ par un centre de rotation O et un angle de rotation β est notée : \(f1 \overset{R(O, \beta)}{\rightarrow} f1’\)

Définition

On peut tracer l’image d’une figure par rotation en suivant les étapes suivantes :

Règle

  1. Tracer deux segments entre les sommets de la figure initiale et leurs sommets homologue.
  2. A l’aide d’un compas et d’une règle tracer la médiatrice pour chacun des deux segments tracés précédemment. L’intersection des médiatrices est le centre de rotation. Nommer le centre de rotation O.
  3. Tracer une droite passant par un sommet de la figure initiale et le centre de rotation O et une autre passant par le sommet homologue de la figure image et le centre de rotation. Mesurer l’angle formé. Cet angle est l’angle de rotation.
  4. Tracer des droites passant par les sommets de la figure initiale et le centre de rotation puis, à l’aide d’un rapporteur, reporter l’angle obtenu au point 3 sur chacune des droites tracées précédemment et tracer des droites passant par le centre de rotation.
  5. A l’aide d’un compas ou d’une règle prendre la mesure entre un sommet de la figure initiale et le centre de rotation O et reporter cette mesure à partir du centre de rotation sur la droite formant l’angle de rotation avec la droite passant par le centre de rotation O et le sommet de la figure initiale pour obtenir le point homologue sur la figure image. Répéter l’opération pour tous les sommets de la figure initiale. Nommer les sommets images obtenus à l’aide du symbole « ‘ ».

Relier les sommets images dans le bon ordre pour créer la figure image.

Exemple

Supposons que l’on veut tracer la figure image du polygone ci-dessous par rotation en connaissant les point homologue de deux de ces sommets, on peut suivre les étapes suivantes :

1. Tracer deux segments entre les sommets de la figure initiale et leurs sommets homologue.

2. A l’aide d’un compas et s’une règle tracer la médiatrice pour chacun des deux segments tracés précédemment. L’intersection des médiatrices est le centre de rotation. Nommer le centre de rotation O.

3. Tracer une droite passant par un sommet de la figure initiale et le centre de rotation O et une autre passant par le sommet homologue de la figure image et le centre de rotation. Mesurer l’angle formé. Cet angle est l’angle de rotation.

3. Tracer une droite passant par un sommet de la figure initiale et le centre de rotation O et une autre passant par le sommet homologue de la figure image et le centre de rotation. Mesurer l’angle formé. Cet angle est l’angle de rotation.

4. Tracer des droites passant par les sommets de la figure initiale et le centre de rotation puis, à l’aide d’un rapporteur, reporter l’angle obtenu au point 3 sur chacune des droites tracées précédemment et tracer des droites passant par le centre de rotation.

6. A l’aide d’un compas ou d’une règle prendre la mesure entre un sommet de la figure initiale et le centre de rotation O et reporter cette mesure à partir du centre de rotation sur la droite formant l’angle de rotation avec la droite passant par le centre de rotation O et le sommet de la figure initiale pour obtenir le point homologue sur la figure image. Répéter l’opération pour tous les sommets de la figure initiale. Nommer les sommets images obtenus à l’aide du symbole « ‘ ».

Construction d’une image par rotation centrale si l’on connaît le centre et l’angle de rotation

Même méthode que précédemment à partir de la quatrième étape.

Exemple

Supposons que l’on veut tracer la figure image du polygone ci-dessous par rotation en connaissant le centre et l’angle de rotation, on peut suivre les étapes suivantes :

4. Tracer des droites passant par les sommets de la figure initiale et le centre de rotation puis, à l’aide d’un rapporteur, reporter l’angle donné (270°) sur chacune des droites tracées précédemment et tracer des droites passant par le centre de rotation.

5. A l’aide d’un compas ou d’une règle prendre la mesure entre un sommet de la figure initiale et le centre de rotation O et reporter cette mesure à partir du centre de rotation sur la droite formant l’angle de rotation avec la droite passant par le centre de rotation O et le sommet de la figure initiale pour obtenir le point homologue sur la figure image. Répéter l’opération pour tous les sommets de la figure initiale. Nommer les sommets images obtenus à l’aide du symbole « ‘ ».

6. Relier les sommets images dans le bon ordre pour créer la figure image (f1’).

Reconnaître une rotation et trouver le centre et l’angle de rotation

Si les médiatrices des segments définis par les sommets de la figure initiale et les sommets homologues de la figure image s’intersectent tous au même endroit alors la transformation est une rotation et le point d’intersection des médiatrices est le centre de rotation.

Il faut ensuite tracer une droite passant par un sommet de la figure initiale et le centre de rotation O et une autre passant par le sommet homologue de la figure image et le centre de rotation puis mesurer l’angle formé. Cet angle est l’angle de rotation.

Exemple

Est-ce que la transformation suivante est une rotation ? Si oui il faut trouver le centre et l’angle de rotation.

Réponse : Oui c’est une rotation car les médiatrices de AA’, BB’, CC’ et DD’ s’intersectent toutes au même endroit. Cette intersection est le centre de rotation O.

Il faut maintenant tracer, par exemple, les segments OA et OA’ puis mesurer l’angle pour trouver la valeur de l’angle de rotation. Ici l’angle mesure 135° (ou -225°)

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