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Racines

Ce que je vais apprendre dans ce chapitre

  • Définition : Qu’est-ce qu’une racine?
  • Additionner et soustraire des racines
  • Multiplier et diviser des racines
  • Extraire des racines

Table des matières

Vocabulaire

Définition

La racine d’un nombre est l’opération inverse de la puissance. Elle se note de la manière suivante: √a

La plus utilisée est la racine carrée, mais il existe des racines n – èmes en rapport avec tous les exposants. Par exemple, la racine cubique est l’inverse d’une élévation au cube.

Le nombre se trouvant en dessous du signe de la racine s’appelle le radicande. Par exemple, dans 3√5, le radicande est 5.

Exemple

Prenons par exemple 3. Si nous l’élevons au carré, cela donne:

3² = 9. 

Etant donné que la racine est l’opération inverse de la puissance, si on met 9 à la racine, on retrouve 3. Ainsi nous avons: 

√9 = 3.

Voici un autre exemple: 

4 · 4 = 4² = 16

Ainsi: 

√16 = 4. 

ou encore: 

√4² = 4. 

Carré parfait - Définition

En mathématiques, un carré parfait est le carré d’un entier. En d’autres termes, quand on multiplie un nombre entier par lui-même, on obtient un carré parfait.

Par exemple, 36 est un carré parfait car la racine de 36 est un entier. Il s’agit de 6. Et 6 · 6 = 36.

Exemple

Voici quelques exemples de carrés parfaits: 

4 car √4 = 2

9 car √9 = 3.

16 car √16 = 4

25 car √25 = 5

100 car √100 = 10 

Et il y en a beaucoup d’autres.

Attention!

Il n'existe pas de racines de nombres négatifs. Par exemple, il n'existe pas de √-5.

(En fait, dans le monde imaginaire, la racine carré d'un nombre négatif existe, notamment √-1 = i. Mais là, on entre dans le monde des nombres complexes et ce sujet n'est pas prévu au niveau du collège. Nous le précisons au cas où un prof de maths nous lirait 🙂 ).

Opérations avec les racines

Addition et soustraction de racines

Quand on veut additionner ou soustraire entre eux des nombres contenant des racines carrées, il faut savoir qu’on ne peut le faire que s’il s’agit de la racine du même nombre.

Par exemple, on peut additionner √3 + √3 mais pas √3 + √2. 

Dans notre exemple ci-dessus, √3 + √3 = 2 · √3. On écrit ceci de la forme suivante: 2√3

On peut additionner ou soustraire 2√3 avec 4√3.

Ainsi, nous avons pour l’addition: 2√3 + 4√3 = 6√3.

Pour la soustraction nous obtenons: 2√3 – 4√3 = -2√3.

Comme mentionné plus haut, on ne peut additionner ou soustraire que les racines d’un même nombre. Ainsi, on ne peut pas additionner ou soustraire 2√3 avec 2√5.

Exemples

√5 + √5 = 2√5

√5 + √5 + √5 = 3√5

√5 + √5 – √5 = 2√5

3√5 + 4√5 = 7√5

5√5 – 2√5 = 3√5

Remarque!

Le nombre à gauche de la racine est appelé le coefficient.
Par exemple, dans 7√5, le coefficient est 7.

Multiplication de racines

Il est très facile de multiplier des racines entre elles.

Pour cela, il suffit de multiplier entre eux les nombres qui sont en dessous du symbole de la racine. 

Par exemple:

√5 · √3 = √15

Remarque!

Si tu multiplies la même racine, l'opération s'annule. Par exemple, √7 · √7 = 7.

Multiplication de racines avec coefficient

Ce n’est pas plus difficile que de multiplier des racines entre elles. Il y a juste une étape supplémentaire. 

  1. Multiplier les coefficients entre eux. 
  2. Multiplier les racines entre elles. 

Par exemple:

2√5 · 6√3 = 12√15

Exemples

2√5 · 3√2 = 6√10

– 8√2 · 7√13 = – 56√26

– 3√5 · – 9√3 = 27√15 

Attention!

N'oublie pas de prendre en compte les signes des fractions.

Division de racines

Méthode

  1. Ecrire la division sous forme de fraction. 
  2. Factoriser chaque radicande. 
  3. Extraire la racine.
  4. Rationnaliser le dénominateur.

 

Exemple

Nous allons diviser √8 par √36. 

1. Ecrire la division sous forme de fraction.

2. Factoriser chaque radicande.

3. Extraire la racine.

4. Rationnaliser le dénominateur. En règle générale, une expression ne peut avoir une racine carrée au dénominateur. Si tel est le cas, tu dois faire disparaitre la racine carrée au dénominateur. Pour ce faire, tu dois multiplier le numérateur et le dénominateur de ta fraction par la racine carrée que tu veux faire disparaitre.

Dans notre exemple, nous voulons faire disparaître la racine de 3.

4a. On multiplie le numérateur par √3. Ce qui nous donne 2√2 • √3 = 2√6. 

Au dénominateur, la racine disparaît car 3√3 • √3 = 3 • 3 = 9.

5. On obtient le résultat final

Extraction de racines

Définition

L’extraction de racine en maths est l’opération qui consiste à calculer la racine. 

Méthode

Il est possible d’extraire la totalité ou une partie de la racine en la décomposant en produits de carrés
parfaits.

Rappel : les carrés parfaits sont le produit d’un nombre par lui-même. (4,9,16,25,36,49,64,81,100,…).

  1. Décomposer la racine en produit de carré parfait.
  2. Sortir le carré de la racine. 
  3. Placer le résultat obtenu en coefficient. 
  4. S’il existe déjà un coefficient, multiplier le résultat avec le coefficient.

Exemple

\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)

Un autre exemple:

\(\sqrt{450} = \sqrt{9\cdot 25 \cdot 2} = 3 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} = 15 \sqrt{2}\)

Et un dernier exemple, avec coefficient cette fois:

\(3\sqrt{72} = 3 \cdot \sqrt{36 \cdot 2} = 3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\)

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