Ce que je vais apprendre dans ce chapitre
- Savoir calculer une racine carrée.
- Savoir reconnaître un triangle rectangle.
- Connaître le théorème de Pythagore, sa contraposée et sa réciproque.
- Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer des longueurs.
Vocabulaire
Rappel - Racines carrées
On appelle racine carrée d’un nombre positif x le nombre positif dont le carré est égal à x.
La racine carrée de x est notée : \(\sqrt{x}\). On a donc : \((\sqrt{x})^{2}\).
Remarques sur les racines carrées :
La valeur décimale de la racine carrée, exacte ou approchée, peut être calculée à la calculatrice. Extraire une racine carrée à la main est une opération compliquée.
On ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre négatif, car un nombre élevé au carrée ne donne jamais un nombre négatif.
Exemple
\(\sqrt{9} = 3\)
\((\sqrt{9})^{2} = 3^{2} = 9\)
\(\sqrt{16} = 4\)
\((\sqrt{16})^{2} = 4^{2} = 16\)
\(\sqrt{-4} = Ø\)
Triangle rectangle - Définition
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (un angle droit est un angle de 90°).
L’hypoténuse désigne le côté opposé à l’angle droit dans un triangle rectangle.
Le triangle ABC est un triangle rectangle en A.
L’hypoténuse est le côté BC.
Remarque!
L’hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle. Le terme hypoténuse est uniquement utilisé si le triangle est rectangle. Les autres côtés du triangle rectangle sont appelés autres côtés, ou côtés de l’angle droit ou cathètes.
Exercice
Où se situe l’hypoténuse dans chacun des trois triangles rectangles suivants?
Solution
L’hypoténuse du triangle ABC est le côté BC.
L’hypoténuse du triangle DEF est le côté EF.
L’hypoténuse du triangle HIJ est le côté JI.
Théorème de Pythagore
Définition
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Dans un triangle ABC rectangle en A, l’égalité « BC2 = AB2 + AC2 » s’appelle l’égalité de Pythagore.
Remarques :
Le théorème de Pythagore met en relation les longueurs des trois côtés d’un triangle rectangle. Il est donc possible de calculer la longueur du troisième côté d’un triangle rectangle lorsque l’on connaît les longueurs des deux autres côtés.
Exemple
On sait que : Le triangle ABC est rectangle en A, son hypoténuse est le côté [BC].
Or, « si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés ».
On en déduit que : BC2 = AB2 + AC2.
Théorème de Pythagore - Formules
Exercices
Solution
Exercice 2
Soit le triangle ABC rectangle en A. AB mesure 13 cm et BC mesure 15 cm. Combien mesure AC ?
Solution
Exercice 3
Soit le triangle ABC rectangle en A. AC mesure 3 cm et BC mesure 5 cm. Combien mesure AB ?
Prouver qu'un triangle est rectangle en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore
Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs de ses deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Soit un triangle ABC ayant pour plus long côté [BC].
Si BC2 = AB2 + AC2, alors le triangle ABC est rectangle en A.
Exemple
Exercices
Le triangle ABC est-il rectangle ? Si oui où est l’angle droit.
Solution
Prouver qu'un triangle n'est pas rectangle en utilisant la contraposée du théorème de Pythagore
Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs de ses deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle.
Soit un triangle ABC ayant pour plus long côté [BC].
Si BC2 ≠ AB2 + AC2, alors le triangle ABC n’est pas rectangle.
Exemple
Le triangle ABC n’est pas rectangle car la contraposée du théorème de Pythagore est vérifiée:
BC2 ≠ 252 = 625
AB2+ AC2= 2002 + 162 = 400 + 256 = 666
Et donc BC2 ≠ AB2 + AC2
Exercices
Le triangle ABC est-il rectangle ? Si oui où est l’angle droit.
Solution
Vérifions AB2 ≠ BC2 + AC2
BC2 = 7.72 = 59.9
BC2+ AC2 = 6.42 + 4.22 = 40.96 + 17.64 = 58.6
La contraposée du théorème de Pythagore est vérifiée : BC2 ≠ AB2 + AC2 car 59.29 ≠ 58.6
Le triangle ABC n’est pas rectangle.
Remarque!
Un schéma n’est qu’une représentation de la réalité et ne peux en aucun cas être pris comme justification. Les informations présente sur le schéma, tel que la valeur d’un angle, le parallélisme ou encore une mesure de longueur, peuvent être utilisés.
