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Puissances

Ce que je vais apprendre dans ce chapitre

  • Comprendre et utiliser la notion de puissance.
  • Calculer avec des puissances à exposant positif ou négatif.

Définition

Admettons que a désigne un nombre relatif, c’est-à-dire un nombre qui peut aller de -∞ à +∞.

désigne un nombre entier supérieur ou égal à 2.

Le produit de facteurs égaux à a se note an et se lit “a à la puissance n” ou encore “a exposant n :

an = a · a · a · … · a · a

On dit que an est la puissance n-ième de a.

On appelle n exposant de cette puissance.

On appelle a la base.

Exemples

2³ = 2 · 2 ·  2 = 8 => 2 est la base et l’exposant est 3.

5² = 5 · 5 = 25 => 5 est la base et l’exposant est 2.

Attention!

Il existe deux cas particuliers très importants:
a est un nombre relatif non nul. Ainsi, nous avons:
a1 = a
a0 = 1
Par exemple:
31 = 3
30 = 1

Remarque!

Lorsque tu as un exposant 2, on dit que le nombre est "au carré". Par exemple, 52 se lit "5 au carré".
Pour un exposant 3, on dit que le nombre est "au cube". Par exemple, 53 se lit "5 au cube".
Pour le reste, tu peux continuer à dire 5 puissance 4 pour 54 ou 6 puissance 7 pour 67, on va te comprendre ;).

Puissances à exposant négatif

Lorsque tu vois une puissance de type 2 -3, la première chose à faire est… de ne pas paniquer.

Un exposant négatif veut simplement dire que tu as affaire à l’inverse du nombre.

En d’autre terme, 2 -3  s’écrit aussi de la manière suivante: \(\frac {1}{2\,^3}\) 

ce qui donne: 

\(\frac {1}{2\, \cdot \, 2\, \cdot \, 2}\)

Exemples

3-2 = \(\frac{1}{3\,^2} = \frac{1}{3\, \cdot\, 3} = \frac{1}{9}\)

5-4 = \(\frac{1}{5\,^4} = \frac{1}{5\, \cdot\, 5\, \cdot\, 5\, \cdot\, 5} = \frac{1}{625} \)

Signe d'une puissance

Admettons que  est un nombre non nul et un entier non nul. Alors nous pouvons avoir les cas suivants:

  • Si a est positif, alors an est positif.
  • Si a est négatif,
    • alors an est positif si n est pair
    • an est négatif sir n est impair.

Exemples

\(2^3 = 2\, \cdot\, 2\, \cdot\, 2\, = 8\)

\(-2^4 = -2\, \cdot\, -2\, \cdot\, -2\, \cdot\, -2\, = 16\)

\(-2^3 = -2\, \cdot\, -2\, \cdot\, -2\, = -8\)

Opérations sur les puissances

Multiplication de puissances

Pour multiplier des puissances entre elles, il suffit d’additionner les exposants. 

Ainsi: 

\(a^n\, \cdot a^m = a^{n+m}\)

Exemples

\(2^3 \, \cdot\, 2^2 =\,2^{3\,+\,2}\, =\,2^5\)

\(3^4 \, \cdot\, 3^{-2}\,=\, 3^{4\,-\,2}\, =\,3^2\)

Attention!

Afin de pouvoir additionner les exposants, il faut faire attention aux points suivants:
- Les bases doivent être les mêmes.
- L'addition d'exposants ne fonctionnent que pour les multiplications. ATTENTION de ne pas les utiliser avec les additions (ce qui est une erreur très courante).

Exemples

\(2^3 \, \cdot\, 3^2 \,= \, 2\, \cdot\, 2\, \cdot\, 2 \, \cdot \, 3\, \cdot\, 3\, = 8 \, \cdot\, 9 \, = \, 72\) => Là, nous avons dû faire le calcul car la base n’est pas la même. 

\(7^3\, +\, 7^6 \, \neq \, 7^9\) => ici, il s’agit d’une addition et nous ne pouvons donc pas additionner les exposants.

 

Division de puissances

Pour diviser des puissances entre elles, il suffit de soustraire les exposants. 

Ainsi: 

\(a^n\, \cdot a^m = a^{n-m}\)

\(\frac{2^5}{2^2} =\,2^{5\,-\,2}\, =\,2^3\)

\(\frac{3^4}{3^{-2}}\,=\, 3^{4\,-\,(-\,2)}\, =\,3^{4 + 2}\,=\, 3^6\)

Puissance de puissances

Pour les puissances de puissances, il faut multiplier les exposants.

Ainsi: 

\(a^{n^m} = a^{n\,\cdot\,m}\)

Exemples

\(6^{3^5} = 6^{3\,\cdot\,5}\, = \, 6^{15}\)

Multiplication de puissances ayant le même exposant

Lorsque tu as une multiplication avec des puissances qui ont le même exposant mais une base différente, tu peux multiplier les bases entre elles et laisser le même exposant:

\(a^n\, \cdot b^n \,=\, (a \, \cdot\, b)^n\)

Exemples

\(6^{3} \,\cdot\,4^{3}\, = \, (6\,\cdot\,4)^{3}\, =\, 24^3\)

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