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Probabilités

Ce que je vais apprendre dans ce chapitre

  • Comprendre la notion d’évènement.
  • Savoir utiliser le vocabulaire lié à la notion de probabilité. 
  • Savoir calculer la probabilité qu’un évènement survienne. 

Expérience aléatoire et évènement - Définition

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est déterminé par le hasard. Il ne peut donc pas être déterminé à l’avance avec certitude. 

On appelle “issue” chaque résultat possible de l’expérience. 

Un évènement est constitué d’une ou plusieurs issues.

Exemple

On lance un dé à 6 faces (évidemment, il n’est pas truqué. On ne triche jamais en maths 🙂 ). Puisqu’on ne peut pas déterminer à l’avance sur quelle face le dé va tomber, il s’agit ici d’une expérience aléatoire dont les issues sont au nombre de 6. En effet, le dé peut également tomber sur 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

Obtenir un nombre pair sur ce dé est un évènement à 3 issues: on peut tomber sur 2, 4 ou 6. 

Obtenir un 6 sur le dé est un évènement à une seule issue.

Evènements particuliers

Evènement impossible: Un évènement qui ne peut pas se réaliser.

Evènement certain: Il s’agit d’un évènement qui se réalise toujours. 

Evènement incompatible: Deux évènements qui ne peuvent pas se réaliser en même temps sont dits incompatibles. 

Evènements contraires: Un évènement contraire à A est un évènement qui se réalise lorsque l’évènement A ne se réalise pas.

Exemple

Obtenir un 7 sur un dé à 6 faces est un évènement impossible.

Obtenir un nombre entier sur un dé à 6 faces est un évènement certain.

Obtenir un nombre pair et impair sur le dé sont des évènements incompatibles, car on ne peut obtenir que les deux en même temps.

Obtenir un nombre pair est l’évènement contraire à obtenir un nombre impair. Comme il n’y a que des nombres pairs ou impairs, si on obtient l’un, on ne peut pas obtenir l’autre, et vice-versa.

Probabilités - Définition

La probabilité d’une issue représente les chances qu’elle a de se réaliser. Il s’agit d’un nombre allant de 0 à 1. La somme de toutes les issues est égale à 1. 

Notation

On peut écrire les probabilités de trois façons: 

  • Sous forme décimale: Par exemple, la probabilité de tirer un nombre pair sur un dé à 6 faces est de 0.5. 
  • Sous forme de fraction: Par exemple, la probabilité de tirer un nombre pair sur un dé à 6 faces est de \(\frac{1}{2}\).
  • Sous forme de pourcentage: Par exemple, la probabilité de tirer un nombre pair sur un dé à 6 faces est de 50%.

Remarque!

La somme des probabilités des toutes les issues est égale à 1.

Probabilité d'un évènement - Définition

La probabilité qu’un évènement E se réalise est égale à la somme des probabilités des issues qui le réalisent. On note cette probabilité P(E).  

Exemple

Nous lançons un dé truqué. Les probabilités de tirer chaque face est inscrite dans le tableau ci-dessous: 

Face

1

2

3

4

5

6

Probabilité

10%

15%

10%

20%

20%

25%

La probabilité de tirer un nombre pair est la probabilité de tirer 2 (soit 15%) , 4 (soit 20%) ou 6 (soit 25%). 

Ainsi, il faut additionner les probabilités entre elles: 15 + 20 + 25 = 60%. 

Exemple

En lançant un dé à 6 faces non truqué, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre strictement inférieur à 3? 

Face

1

2

3

4

5

6

Probabilité

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{1}{6}\)

Puisque le dé n’est pas truqué, chaque face a la même probabilité d’être tirée, c’est-à-dire 1 chance sur 6.

P(E) = \(\frac{1}{6} + \frac{1}{6} \, = \, \frac{2}{6}\,=\, \frac{1}{3} \, \approx \, 0.33 \,= \,33\)%

Exerices

Isabelle possède un porte-monnaie avec différentes pièces: 

Elle possède 10 pièces de 1 ct.

12 pièces de 2 ct.

13 pièces de 50 ct. 

15 pièces de 1€. 

Essaie de répondre aux questions ci-dessous (passe ta souris sur le carré de couleur pour afficher la réponse). 

 

Question 1

En prenant une pièce au hasard, quelle est la probabilité de tirer une pièce de 1 ct?
1. Tu dois d'abord compter le nombre de pièces au total: il y a 10 + 12 + 13 + 15 = 50 pièces au total.

2. Il y a 10 pièces de 1 ct.

3. La chance de tirer une pièce de 1 ct. est donc de 10 sur 50.

P(E) = \(\frac{10}{50}\,=\,\frac{1}{5}\,=\,0.2\,=\,20\)%

Question 2

En prenant une pièce au hasard, quelle est la probabilité de tirer une pièce de 1 €?
1. Tu dois d'abord compter le nombre de pièces au total: il y a 10 + 12 + 13 + 15 = 50 pièces au total.

2. Il y a 15 pièces de 1 €.

3. La chance de tirer une pièce de 1 €. est donc de 15 sur 50.

P(E) = \(\frac{15}{50}\,=\,\frac{3}{10}\,=\,0.3\,=\,30\)%

Question 3

En prenant une pièce au hasard, quelle est la probabilité de tirer une pièce d'une valeur supérieure à 2 ct?
1. Tu dois d'abord compter le nombre de pièces au total: il y a 10 + 12 + 13 + 15 = 50 pièces au total.
2. Il y a 13 pièces de 50 ct.
3. La chance de tirer une pièce de 50 ct. est donc de 13 sur 50.
4. Il y a 15 pièces de 1 € ct.
5. La chance de tirer une pièce de 1 €. est donc de 15 sur 50.
P(E) = \(\frac{13}{50}\,+\,\frac{15}{50}\,=\,\frac{28}{50}\,=\,0.56\,=\,56\)%

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