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Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

Définition

Le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de deux ou plusieurs nombres est le plus petit entier naturel non nul qui est multiple de tous ces nombres. 

Par exemple, le PPCM de 10, 15 et 25 est 150 car il s’agit du plus petit nombre qui est à la fois multiple de 10, de 15 et de 25. 

Exemples

Le PPCM de 7 et 12 est 84. 

Le PPCM de 10 et 20 est 20.

Le PPCM de 9 et 15 est 45. 

Notation

Le PPCM de deux entiers a et b se note : PPCM(a, b). 

Par exemple, le PPCM de 10 et 15 se note PGCD(10, 15).

Trouver le PPCM - Méthode de la liste de multiples

Avec cette méthode, il suffit de faire la liste des multiples des nombres dont on recherche le PPCM et d’identifier le plus petit multiple commun. 

Cette méthode est utile surtout lorsque les nombres sont petits. 

Exemples

Trouver le PPCM de 5 et 7 : 

1. Dresser la liste des multiples de chacun des nombres.

On obtient:

5: { 5; 10; 15; 20; 25; 30: 35; 40; 45; 50, … }

7: { 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; …}

2. Trouver les multiples communs

5: { 5; 10; 15; 20; 25; 30: 35; 40; 45; 50, … }

7: { 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; …}

3. Choisir le plus petit des multiples

Dans notre cas, 35 est le plus petit des multiples.

Donc, PPCM(5, 7) = 35

Trouver le PPCM de 2, 3 et 4 : 

1. Dresser la liste des diviseurs de chacun des nombres.

On obtient:

2 : { 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24; 26; 28; 30; … }

3 : { 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48; 51; 54; 57; 60; 63; 66; 69; … }

4 : { 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; 60; 64; 68; … }

2. Trouver les diviseurs communs

2 : { 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24; 26; 28; 30; … }

3 : { 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; … }

4 : { 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; … }

3. Choisir le plus petit des multiples communs

Dans notre cas, 12 est le plus petit des multiples communs.

Donc, PPCM(2, 3, 4) = 12

Trouver le PGCD - Méthode de la décomposition en facteurs premiers

Cette méthode consiste à décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers et d’écrire le PPCM sous la forme d’un produit des facteurs communs et des facteurs qui ne sont pas communs.

Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, tu dois diviser le nombre par le plus petit nombre premier possible. Par exemple, le plus petit nombre premier qui peut diviser 72 est 2. Ensuite, tu dois diviser le résultat par le plus petit nombre premier possible. Dans ce cas précis, 72 : 2 = 36. Tu dois donc diviser 36 par 2. 

Tu continues ainsi de suite jusqu’à tomber sur 1.

Ca te semble un peu barbare comme explication? Ne t’inquiète pas, nous allons voir des exemples. Cette méthode est très facile à utiliser. En plus, tu peux vraiment l’utiliser dans tous les cas, que ce soit avec des petits ou des grands nombres. 

Exemple : Décomposer en facteurs premiers

Il faut décomposer 72 en facteurs premiers:

72 : 2 = 36

36 : 2 = 18

18 : 2 = 9

9 : 3 = 3

3 : 3 = 1

Donc, 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

Maintenant que tu sais décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, il te sera très facile de calculer le PPCMde 2 nombres. Pour cela, il te suffit de comparer les facteurs entre les deux nombres et de choisir ceux qui sont communs et ceux qui ne sont pas communs.

Exemple : Trouver le PPCM avec les facteurs premiers

Trouver le PPCM de 27 et 45:

Décomposons 27 en produit de facteurs premiers:

27 : 3 = 9 ( 3 est le plus petit nombre premier par lequel nous pouvons diviser 27 )

9 : 3 = 3 ( 3 est le plus petit nombre premier par lequel nous pouvons diviser 9 )

3 : 3 = 1 ( 3 est le plus petit nombre premier par lequel nous pouvons diviser 3 )

Décomposons 45 en produit de facteurs premiers:

45 : 3 = 15 ( 3 est le plus petit nombre premier par lequel nous pouvons diviser 45 )

15 : 3 = 5 ( 3 est le plus petit nombre premier par lequel nous pouvons diviser 15 )

5 : 5 = 1 ( 5 est le plus petit nombre premier par lequel nous pouvons diviser 5 )

Donc, nous obtenons:

27 = 3 · 3 · 3

45 = 3 · 3 · 5

Maintenant, nous choisissons les facteurs communs et ceux qui ne sont pas communs:

27 = 3 · 3 · 3

45 = 3 · 3 · 5

Donc le PPCM(27, 45) = 3 · 3 · 3 · 5 = 135.

Trouver le PPCM de 10, 12 et 40 :

En décomposant les nombres en produit de facteurs premiers, nous obtenons:

10 = 2 · 5

12 = 2 · 2 · 3

40 = 2 · 2 · 2 · 5

Maintenant, nous choisissons les facteurs communs et ceux qui ne sont pas communs:

10 = 2 · · 3

12 = · · 3

40 = · · · 5

Donc le PPCM(10, 12, 40) = 2 · · · 3 · 5 = 120.

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