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Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

Définition

Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) entre deux ou plusieurs nombres entiers est le plus grand nombre qui les divise tous. 

Par exemple, le PGCD entre 20, 30 et 50 est 10. Car 10 divise aussi bien 20 (20 : 10 = 2), que 30 (30 : 10 = 3) que 50 (50 : 10 = 5). 

Alors, tu vas me dire que 2 peut aussi diviser 20, 30 et 50, puisque ces trois nombres sont pairs. Tu as raison. Mais n’oublie pas que le PGCD est le Plus Grand nombre qui peut les diviser tous. 

Exemples

Le PGCD de 15 et 25 est 5. 

Le PGCD de 80 et 120 est 40.

Le PGCD de 25 et 100 est 25. 

Remarque!

Lorsque deux nombres ou plus ont un PGCD égal à 1 , on dira de ces nombres qu'ils sont premiers entre eux.
Par exemple, 6 et 11 n'ont aucun diviseur commun autre que 1. Ils sont donc premiers entre eux.

Notation

Le PGCD de deux entiers a et b se note : PGCD(a, b). 

Par exemple, le PGCD de 7 et 21 se note PGCD(7, 21).

Trouver le PGCD - Méthode de la liste de diviseurs

La première méthode pour trouver le PGCD consiste à dresser la liste des diviseurs de chacun des nombres et de repérer le plus grand des diviseurs communs à ces nombres. 

Cette méthode est utile lorsque les nombres sont petits mais difficilement utilisable avec de grands nombres. 

Exemples

Trouver le PGCD de 28 et 42 : 

1. Dresser la liste des diviseurs de chacun des nombres.

On obtient:

28 : { 1; 2; 4; 7; 14; 28 }

42 : { 1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42 }

2. Trouver les diviseurs communs

28 : { 1; 2; 4; 7; 14; 28 }

42 : { 1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42 }

3. Choisir le plus grand des diviseurs

Dans notre cas, 14 est le plus grand des diviseurs.

Donc, PGCD(28, 42) = 14

Trouver le PGCD de 25 et 33 : 

1. Dresser la liste des diviseurs de chacun des nombres.

On obtient:

25 : { 1; 5; 25 }

33 : { 1; 3; 11; 33 }

2. Trouver les diviseurs communs

25 : { 1; 5; 25 }

33 : { 1; 3; 11; 33 }

3. Choisir le plus grand des diviseurs

Dans notre cas, 1 est le plus grand des diviseurs.

Donc, PGCD(25, 33) = 1

Ainsi, 25 et 33 sont premiers entre eux.

Trouver le PGCD de 18 et 27 et 45 : 

1. Dresser la liste des diviseurs de chacun des nombres.

On obtient:

18 : { 1; 2; 3; 6; 9; 18 }

27 : { 1; 3; 9; 27 }

45 : { 1; 3; 5; 9; 15; 45 }

2. Trouver les diviseurs communs

18 : { 1; 2; 3; 6; 9; 18 }

27 : { 1; 3; 9; 27 }

45 : { 1; 3; 5; 9; 15; 45 }

3. Choisir le plus grand des diviseurs communs

Dans notre cas, 9 est le plus grand des diviseurs communs.

Donc, PGCD(18, 27, 45) = 9

Trouver le PGCD - Méthode de la décomposition en facteurs premiers

Cette méthode consiste à décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers et d’écrire le PGCD sous la forme d’un produit des facteurs communs.

Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, tu dois diviser le nombre par le plus petit nombre premier possible. Par exemple, le plus petit nombre premier qui peut diviser 72 est 2. Ensuite, tu dois diviser le résultat par le plus petit nombre premier possible. Dans ce cas précis, 72 : 2 = 36. Tu dois donc diviser 36 par 2. 

Tu continues ainsi de suite jusqu’à tomber sur 1.

Ca te semble un peu barbare comme explication? Ne t’inquiète pas, nous allons voir des exemples. Cette méthode est très facile à utiliser. En plus, tu peux vraiment l’utiliser dans tous les cas, que ce soit avec des petits ou des grands nombres. 

Exemple : Décomposer en facteurs premiers

Il faut décomposer 72 en facteurs premiers:

72 : 2 = 36

36 : 2 = 18

18 : 2 = 9

9 : 3 = 3

3 : 3 = 1

Donc, 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

Maintenant que tu sais décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, il te sera très facile de calculer le PGCD de 2 nombres. Pour cela, il te suffit de comparer les facteurs entre les deux nombres et de choisir ceux qui sont communs. 

Exemple : Trouver le PGCD avec les facteurs premiers

Trouver le PGCD de 27 et 45: 

Décomposons 27 en produit de facteurs premiers: 

27 : 3 = 9 ( 3 est le plus petit nombre premier par lequel nous pouvons diviser 27 )

9 : 3 = 3 ( 3 est le plus petit nombre premier par lequel nous pouvons diviser 9 )

3 : 3 = 1 ( 3 est le plus petit nombre premier par lequel nous pouvons diviser 3 )

Décomposons 45 en produit de facteurs premiers: 

45 : 3 = 15 ( 3 est le plus petit nombre premier par lequel nous pouvons diviser 45 )

15 : 3 = 5 ( 3 est le plus petit nombre premier par lequel nous pouvons diviser 15 )

5 : 5 = 1 ( 5 est le plus petit nombre premier par lequel nous pouvons diviser 5 )

Donc, nous obtenons: 

27 = 3 · 3 · 3

45 = 3 · 3 · 5

Maintenant, nous choisissons les facteurs communs: 

27 = 3 · 3 · 3

45 = 3 · 3 · 5

Donc le PGCD(27, 45) = 3 · 3 = 9.

 

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