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Les échelles

Définition

Une échelle est une relation de proportionnalité. L’échelle correspond au facteur de proportionnalité e et est le quotient de la distance mesurée sur une représentation (carte, image, maquette…) par la distance réelle qui lui correspond.

Formule :

\(\) Echelle = \frac {distance \quad sur \quad la \quad représentation} {distance \quad réelle}

Attention : pour calculer le facteur de proportionnalité e, il faut utiliser les mêmes unités de mesure pour la distance mesurée sur le plan et pour la distance réelle.

Ainsi une échelle est une grandeur sans unité.

L’échelle met en relation la distance mesurée sur un représentation et la distance réelle par relation de proportionnalité. Il est donc possible de calculer l’une de ces 3 grandeurs (échelle, distance sur le représentation et distance réelle) lorsque l’on connaît les deux autres.

Exemple

En multipliant n’importe quelle distance de la carte topographique par 50 000, on obtient la distance réelle correspondante dans la même unité de longueur.

En divisant n’importe quelle distance du dessin de coléoptère pas 10, on obtient la distance réelle correspondante dans la même unité de longueur.

Notation

Si la représentation est un rétrécissement de la réalité l’échelle est inférieure et notée 1 : x (si l’on prend 1 cm sur la représentation alors x représente la distance correspondante en cm dans la réalité).

Si la représentation est un agrandissement de la réalité l’échelle est supérieure et notée x : 1 (si l’on prend 1 cm dans la réalité alors x représente la distance correspondante en cm sur la représentation).

Exemple d’échelle : 1 : 10 ; 1 : 1000 ; 10 : 1 ; 25 : 1

Il existe aussi d’autres notations que tu vas trouver dans différents ouvrages (notamment en géographie): 

  • 1/5000
  • « 2 cm sur la carte correspondent à 1 km dans la réalité »

Déterminer l’échelle d’une représentation de la réalité - Méthode

  1. Ecrire la formule de l’échelle.
  2. Exprimer les longueurs de la représentation et de la réalité dans la même unité.
  3. Appliquer la formule et exprimer l’échelle sous la forme d’une fraction où :
  • Le numérateur est égal à un pour un rétrécissement.
  • Le dénominateur est égal à 1 dans le cas d’un agrandissement.
  1. Conclure.

Exerices

Sur une carte, une distance de 6 km dans la réalité est représentée par une distance de de 24 cm. Quel est l’échelle de cette carte ?

Solution

  1. Echelle = \(\frac {distance \quad sur \quad la \quad représentation}{distance \quad réelle}\)
  2. 6 km = 600 000 cm (ou 24 cm = 0.00024 km)
  3. C’est un rétrécissement, donc: Echelle = \(\frac {24}{600 000} = \frac{1}{25 000}\)
  4. L’échelle de la carte est 1 : 25 000.

Exemple

Une fonction est une correspondance, ou une relation particulière, qu’il existe entre un ensemble de nombres de départ et un ensemble de nombres d’arrivée.

Autrement dit, une fonction nous indique quelle relation lie un nombre de départ à un nombre d’arrivée, c’est-à-dire comment trouver (calculer) le nombre d’arrivée à partir du nombre de départ.

L’ensemble de départ E est l’ensemble des « x ». L’ensemble d’arrivée F est souvent l’ensemble des « y » ou l’ensemble des images.

On dit :

« x » correspond à « y »

« y » est l’image de « x »

On donne souvent un nom à une fonction, c’est une lettre, par exemple « f ». Mathématiquement on peut l’écrire de différentes manières. Ces écritures sont appelées : expressions fonctionnelles.

 

Remarque!

Une fonction est une sorte de machine qui transforme les nombres en d'autres nombres. On entre un nombre dans la machine, on lui fait subir des opérations et il en ressort un autre nombre.

Attention!

Les formules de trigonométries présentées dans ce chapitre sont uniquement applicables si le triangle est rectangle.

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