Ce que je vais apprendre dans ce chapitre
- Construire une homothétie, reconnaître une homothétie et identifier les propriétés d’une homothétie.
Homothétie - Définition
Une homothétie est une transformation (d’une figure) qui conserve :
- sa forme
- ses angles
- le parallélisme
- son orientation
- sa direction
- le sens de ses vecteurs si le rapport d’homothétie est positif
L’homothétie ne conserve pas :
- ses longueurs (sauf si le rapport d’homothétie est égal à -1 ou +1)
- le sens de ses vecteurs si le rapport d’homothétie est négatif
Il existe un seul point fixe dans une homothétie et ce point fixe est appelé centre d’homothétie.
Une homothétie est un agrandissement (si le rapport d’homothétie est plus grand que 1 ou plus petit que -1) ou un rétrécissement (si le rapport d’homothétie est compris entre -1 et 1) d’une figure suivie d’un glissement (si le rapport d’homothétie est positif) ou d’une rotation autour du centre d’homothétie (si le rapport d’homothétie est négatif).
On qualifie d’homologues les points qui occupent la même position dans les figures initiale et image d’une homothétie.
- Afin de distinguer les points homologues de la figure initiale et de la figure image, on utilise le symbole ‘ (nommé prime). Ainsi, le sommet A de la figure initiale devient le sommet A’ dans la figure image.
Exemple
Notation
Une homothétie d’une figure f1 vers son image f1’ par centre d’homothétie O et de rapport d’homothétie k est notée : \(f \overset{H(O; k)}{\rightarrow}\, f1’\)
Construction d’une image par homothétie si l’on connaît deux points homologues
On peut tracer l’image d’une figure par homothétie en suivant les étapes suivantes :
Règle
- Tracer deux droites entre les sommets de la figure initiale et leurs sommets homologue. Le point d’intersection des deux droites est le centre d’homothétie. Nommer le centre d’homothétie O
REMARQUE : Si l’intersection des deux droites n’est pas entre le sommet de la figure initiale et le sommet de la figure image alors le rapport d’homothétie est positif. Alors que si l’intersection des deux droites est entre le sommet de la figure initiale et le sommet de la figure image alors le rapport d’homothétie est négatif.
- Mesurer à l’aide d’une règle la distance entre le centre d’homothétie O et le sommet de la figure initiale (x) et la distance entre le centre d’homothétie et le sommet homologue de la figure image (y) (Attention le sens de la mesure est important. SI le sens pour aller du point O au sommet de la figure image n’est pas le même que le sens pour aller du point O au sommet de la figure initiale alors une des deux mesures est négative).
- Calculer le rapport d’homothétie de la façon suivante : y/x
- Tracer les droites passant par chaque sommet de la figure initiale et le centre d’homothétie O.
- Mesurer à l’aide d’une règle la distance entre le centre d’homothétie O et un sommet de la figure initiale. Multiplier cette distance par le rapport d’homothétie. Reporter la distance obtenue le long de la droite passant par le centre d’homothétie et le sommet de la figure initiale. Vous obtenez le sommet image homologue. Nommer ce sommet à l’aide du symbole « ‘ »
- Répéter le point 5 pour chacun de sommet restant de la figure initiale.
- Relier les sommets images dans le bon ordre pour créer la figure image.
REMARQUE : La méthode marchera pour tous les rapports d’homothéties (positifs ou négatifs). Il faut de manière systématique mesurer à partir du centre d’homothétie. Si le sens n’est pas le même pour aller du centre d’homothétie à un sommet que pour aller du centre d’homothétie à l’image de ce même sommet alors le rapport d’homothétie est négatif.
Le rapport d’homothétie se calcule TOUJOURS en divisant la distance entre le centre d’homothétie et l’image d’un sommet par la distance entre le centre d’homothétie et le sommet. (OA’/OA ou OB’/OB ou OC’/OC…).
Remarque!
: La méthode marchera pour tous les rapports d’homothéties (positifs ou négatifs). Il faut de manière systématique mesurer à partir du centre d’homothétie. Si le sens n’est pas le même pour aller du centre d’homothétie à un sommet que pour aller du centre d’homothétie à l’image de ce même sommet alors le rapport d’homothétie est négatif. Le rapport d’homothétie se calcule TOUJOURS en divisant la distance entre le centre d’homothétie et l’image d’un sommet par la distance entre le centre d’homothétie et le sommet. (OA’/OA ou OB’/OB ou OC’/OC…).
Exemple
1. Tracer deux droites entre les sommets de la figure initiale et leurs sommets homologue. Le point d’intersection des deux droites est le centre d’homothétie. Nommer le centre d’homothétie O.
2. Mesurer à l’aide d’une règle la distance entre le centre d’homothétie O et le sommet de la figure initiale (x) et la distance entre le centre d’homothétie et le sommet homologue de la figure image (y) (Attention le sens de la mesure est important. SI le sens pour aller du point O au sommet de la figure image n’est pas le même que le sens pour aller du point O au sommet de la figure initiale alors une des deux mesures est négative).
3. Calculer le rapport d’homothétie de la façon suivante : y/x
Rapport d’homothétie : OA’/OA = 9/3,6 = 2,5
4. Tracer les droites passant par chaque sommet de la figure initiale et le centre d’homothétie O.
5. Mesurer à l’aide d’une règle la distance entre le centre d’homothétie O et un sommet de la figure initiale. Multiplier cette distance par le rapport d’homothétie. Reporter la distance obtenue le long de la droite passant par le centre d’homothétie et le sommet de la figure initiale. Vous obtenez le sommet image homologue. Nommer ce sommet à l’aide du symbole « ‘ »
OC = 1,9 cm
OC’ = 1,9 * 2,5 = 4,75 cm
6. Répéter le point 5 pour chacun de sommet restant de la figure initiale.
7. Relier les sommets images dans le bon ordre pour créer la figure image (f1’).
Construction d’une image par homothétie si l’on connaît le centre et le rapport d’homothétie
Même méthode que précédemment à partir de la quatrième étape.
Exemple
Supposons que l’on veut tracer la figure image du polygone ci-dessous par homothétie en connaissant les centre d’homothétie O et le rapport d’homothétie (- 0,5), on peut suivre les étapes suivantes :
4. Tracer les droites passant par chaque sommet de la figure initiale et le centre d’homothétie O.
5. Mesurer à l’aide d’une règle la distance entre le centre d’homothétie O et un sommet de la figure initiale. Multiplier cette distance par le rapport d’homothétie. Reporter la distance obtenue le long de la droite passant par le centre d’homothétie et le sommet de la figure initiale. Vous obtenez le sommet image homologue. Nommer ce sommet à l’aide du symbole « ‘ »
6. Répéter le point 5 pour chacun de sommet restant de la figure initiale.
7. Répéter le point 5 pour chacun de sommet restant de la figure initiale.
Remarque!
La méthode est la même pour un rapport d’homothétie positif à l’exception du fait que les points des images (A’, B’…) se place dans le même sens que les sommets de la figure initial (A, B…). Exemple d’homothétie de rapport 0,5:
Reconnaître une homothétie et trouver le centre et le rapport d’homothétie
Si les droites passant par les sommets de la figure initiale et leurs sommets homologue de la figure image s’intersectent toutes au même endroit alors la transformation est une homothétie et le point d’intersection des droites est le centre d’homothétie (si les figure sont isométrique (et non-confondues) la transformation est une homothétie de rapport -1, une symétrie centrale et une rotation de 180°). Nommer le centre d’homothétie O.
Pour calculer le rapport d’homothétie il faut mesurer à l’aide d’une règle la distance entre le centre d’homothétie O et le sommet de la figure initiale (x) et la distance entre le centre d’homothétie et le sommet homologue de la figure image (y) (Attention le sens de la mesure est important. SI le sens pour aller du point O au sommet de la figure image n’est pas le même que le sens pour aller du point O au sommet de la figure initiale alors une des deux mesures est négative). Calculer le rapport d’homothétie de la façon suivante : y/x.
Exemple
Est-ce que la transformation suivante est une homothétie ? Si oui il faut trouver le centre et le rapport d’homothétie.
Réponse : Oui c’est une homothétie car les droite AA’, BB’, CC’ et DD’ s’intersectent toutes au même endroit. Le point d’intersection est le centre d’homothétie nommé O.
Il faut maintenant mesurer, par exemple, les segments OA et OA’ puis effectuer le calcul OA’/OA pour obtenir le rapport d’homothétie.
