Ce que je vais apprendre dans ce chapitre
- Définition : Introduction et expression fonctionnelle
- Exprimer et représenter une fonction
- Fonctions particulière (linéaire, affine, constante, quadratique,)
Définition
Une fonction est une correspondance, ou une relation particulière, qu’il existe entre un ensemble de nombres de départ et un ensemble de nombres d’arrivée.
Autrement dit, une fonction nous indique quelle relation lie un nombre de départ à un nombre d’arrivée, c’est-à-dire comment trouver (calculer) le nombre d’arrivée à partir du nombre de départ.
L’ensemble de départ E est l’ensemble des « x ». L’ensemble d’arrivée F est souvent l’ensemble des « y » ou l’ensemble des images.
On dit :
« x » correspond à « y »
« y » est l’image de « x »
On donne souvent un nom à une fonction, c’est une lettre, par exemple « f ». Mathématiquement on peut l’écrire de différentes manières. Ces écritures sont appelées : expressions fonctionnelles.
- \(f:x\rightarrow ax+b\)
- f(x) = ax + b
- y = ax + b
- Cette écriture se lit : fonction f, telle que « x » a pour image « a fois x plus b »
- Cette écriture se lit : f de x égale « a fois x plus b »
- Cette écriture se lit : y égal « a fois x plus 4b»
Remarque!
Une fonction est une sorte de machine qui transforme les nombres en d'autres nombres. On entre un nombre dans la machine, on lui fait subir des opérations et il en ressort un autre nombre.
Exprimer et représenter une fonction
Exprimer une fonction consiste à donner une expression fonctionnelle à une représentation d’une fonction ou à un texte en écrit.
Une représentation de fonction illustre un ensemble de départ (E) et un ensemble d’arrivée (F) où pour chaque nombre de l’ensemble de départ correspond un nombre de l’ensemble d’arrivée.
Une fonction peut être représentée sous forme de tableau de valeurs, boîte noire ou graphique.
Exemple
Prenons l’exemple d’une fonction que l’on choisit d’appeler « f ». On choisit également que cette fonction est une machine à multiplier par 3 : elle fait correspondre à tout nombre de l’ensemble de départ, son triple dans l’ensemble d’arrivée.
Cette fonction peut alors être exprimée par une expression fonctionnelle, un tableau de valeurs, une « boîte noire » ou une représentation graphique :
Expression fonctionnelle : (= « la formule »)
- \(f:x\rightarrow ax+b\) ou
- f(x) = 3 · x ou
- y = 3 · x
Tableau de valeur
Boîte noire
Représentation graphique
Exerices
A l’aide de ton ordinateur, tu as programmé la fonction nommée « g ». Quand tu entres un nombre dans ton ordinateur, la fonction g double ce nombre puis ajoute 1 au résultat.
Exprime et donne toutes les représentations de la fonction « g » : (glisse ta souris sur les rectangles de couleur pour afficher la réponse)
Expression fonctionnelle
Expression fonctionnelle
- \({\color{Green} g}:{\color{Red} x}\rightarrow {\color{Blue} 2}{\color{Red} x} {\color{Orchid} + 1}\) ou
- \({\color{Green} g}({\color{Red} x}) = {\color{Blue} 2}{\color{Red} x} {\color{Orchid} + 1}\) ou
- \( y = {\color{Blue} 2}{\color{Red} x} {\color{Orchid} + 1}\)
Tableau de valeur
Tableau de valeur
Boîte noire
Représentation graphique
Vocabulaire
Fonction affine linéaire - Définition
Une fonction affine linéaire est une droite. On dit qu’une fonction est « linéaire »si elle est de la forme :
\(x\rightarrow a\cdot x\) (a est un nombre)
a s’appelle coefficient de linéarité, facteur de linéarité et correspond à la pente de la droite.
Autrement dit, le nombre d’arrivée est obtenu en multipliant toujours le nombre de départ par le même nombre a.
Une fonction linéaire correspond donc à une situation proportionnelle.
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine des axes, le point (0 ; 0).
La valeur du coefficient de linéarité a se calcul de la manière suivante :
- Choisir deux reconnaissable sur le graphique. (Il est facile de voir les coordonnées et le point (0 ;0) appartient TOUJOURS à une droite linéaire)
- Partir du point le plus à gauche sur l’axe x et « calculer » le déplacement sur l’axe x (positif).
- Calculer le déplacement sur l’axe y. Ce déplacement est positif si l’on monte et négatif si l’on descend.
- Diviser le déplacement sur l’axe y par le déplacement sur l’axe x.
Remarque!
On dit d’une fonction affine linéaire qu’elle est croissante si sa pente est positive et décroissante si sa pente est négative.
Exemple
Exerices
Arriveras-tu à trouver les expressions fonctionnelles de ces 3 droites?
Droite F
Trouver le coefficient de linéarité de a
2. Le déplacement sur l’axe x est de + 2
3. Le déplacement sur l’axe y est de -6 (négatif car il faut « descendre ».)
\(a = \frac{déplacement sur l' axe y}{déplacement sur l' axe x} = \frac{- 6}{2} = - 3\)
La fonction f s’écrit : \(f(x) = \frac{1}{2}x = -3x\)
Droite G
Trouver le coefficient de linéarité de a
2. Le déplacement sur l’axe x est de + 2
3. Le déplacement sur l’axe y est de + 2 (positif car il faut « monter ».)
\(a = \frac{déplacement sur l' axe y}{déplacement sur l' axe x} = \frac{2}{2} = 1\)
La fonction h s’écrit : \(g(x) = 1x = x\)
Droite H
Trouver le coefficient de linéarité de a
2. Le déplacement sur l’axe x est de + 4
3. Le déplacement sur l’axe y est de + 2 (positif car il faut « monter ».)
\(a = \frac{déplacement sur l' axe y}{déplacement sur l' axe x} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5\)
La fonction h s’écrit : \(h(x) = \frac{1}{2}x = 0,5x\)
Fonction affine - Définition
Une fonction affine est une droite. On dit qu’une fonction est « affine »si elle est de la forme :
\(f:x\rightarrow ax + b\) (a et b sont des nombres)
a correspond à la pente de la droite et b est l’image de O (aussi appelé l’origine).
Autrement dit, le nombre d’arrivée est obtenu en multipliant toujours le nombre de départ par le même nombre a puis en ajoutant le nombre b.
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui intersecte l’axe des y au point b.
La valeur de a se calcul comme précédemment (fonction affine- linéaire).
Pour trouver la valeur de b il suffit de regarder à quel endroit la droite coupe l’axe y.
Remarque!
On dit d’une fonction affine qu’elle est croissante si sa pente est positive et décroissante si sa pente est négative.
Exemple
Exerices
Arriveras-tu à trouver les expressions fonctionnelles de ces 4 droites?
Solution
Trouver le coefficient de linéarité a :
- Il est facile de voir que les points (-2 ; 0) et (0 ; 4)
appartiennent à la droite f. - Le déplacement sur l’axe x est de + 2
- Le déplacement sur l’axe y est de +4 (positif car il faut
« monter ».)
\(a = \frac{déplacement sur l’ axe y}{déplacement sur l’ axe x} = \frac{4}{2} = 2\)
Trouver l’ordonnée à l’origine b :
La droite f coupe l’axe y en y = 4 et ainsi b = 4
La fonction f s’écrit : \(f(x) = 2x + 4\)
Trouver le coefficient de linéarité a :
- Il est facile de voir que les points (0 ; -3) et (3 ; 0)
appartiennent à la droite g. - Le déplacement sur l’axe x est de + 3
- Le déplacement sur l’axe y est de + 3 (positif car il faut
« monter ».)
\(a = \frac{déplacement sur l’ axe y}{déplacement sur l’ axe x} = \frac{3}{3} = 1\)
Trouver l’ordonnée à l’origine b :
La droite f coupe l’axe y en y = -3 et ainsi b = -3
La fonction g s’écrit : \(g(x) = 1x – 3 = x – 3\)
Trouver le coefficient de linéarité a :
- Il est facile de voir que les points (0 ; 4) et (2 ; 0)
appartiennent à la droite h. - Le déplacement sur l’axe x est de + 2
- Le déplacement sur l’axe y est de – 4 (négatif car il faut
« descendre ».)
\(a = \frac{déplacement sur l’ axe y}{déplacement sur l’ axe x} = \frac{- 4}{2} = – 2\)
Trouver l’ordonnée à l’origine b :
La droite h coupe l’axe y en y = 4 et ainsi b = 4
La fonction h s’écrit : \(h(x) = -2x + 4\)
Trouver le coefficient de linéarité a :
- Il est facile de voir que les points (0 ; 0) et (4 ; -2)
appartiennent à la droite j. - Le déplacement sur l’axe x est de + 4.
- Le déplacement sur l’axe y est de – 2 (négatif car il faut
« descendre »).
\(a = \frac{déplacement sur l’ axe y}{déplacement sur l’ axe x} = \frac{- 2}{4} = – \frac{1}{2}\)
Trouver l’ordonnée à l’origine b :
La droite h coupe l’axe y en y = 0 et ainsi b = 0
La fonction j s’écrit : \(h(x) = – \frac{1}{2}x – 0 = – \frac{1}{2}x\)
Fonction affine constante - Définition
Une fonction affine constante est une droite. On dit qu’une fonction est « constante »si elle est de la forme :
\(f:x\rightarrow b\) (b est un nombre)
La pente d’une fonction constante est donc nulle.
b est l’image de O (aussi appelé ordonnée à l’origine).
Autrement dit, le nombre d’arrivée obtenu est toujours égal à b.
La représentation graphique d’une fonction constante est une droite parallèle à l’axe des abscisses (l’axe des « x »).
Pour trouver la valeur de b (et ainsi l’expression de la droite) il suffit de regarder à quel endroit la droite coupe l’axe des y.
Remarque!
Des droites constantes sont parallèles entre elles.
Exemple
Fonction quadratique - Définition
On dit qu’une fonction est « quadratique »si elle est de la forme :
\( x \mapsto ax^2 + b\) (a, b sont des nombres et a est non nul)
Remarque : L’expression complète d’une fonction quadratique est \( x \mapsto ax^2 + mx + b\) : mais nous traitons uniquement les cas où m = 0 et ainsi l’expression devient \( x \mapsto ax^2 + b\).
Le nombre a d’une fonction quadratique correspond à l’écartement de la parabole et le nombre b est l’image de O (aussi appelé ordonnée à l’origine)
Autrement dit, le nombre d’arrivée est toujours obtenu en élevant le nombre au carré puis en multipliant le résultat par a et en ajoutant b au résultat.
La représentation graphique d’une fonction quadratique est une parabole qui intersecte l’axe y au point b.
La valeur de a se calcul de la façon suivante :
- Trouver les coordonnées du sommet de la fonction (\(x_{s}; y_{s}\)).
- Trouver la coordonnée associée à \( x \mapsto x_{s} + 1 (y_{1} = f(x_{1})\) pour avoir le point \( x_{1}; y_{1}\) (par exemple si \( x_{s} = 2\) alors \( x_{1} = 3\).
- Calculer a : \( \frac {y_{1} – y_{s}}{x_{1} – x_{s}} = \frac {y_{1} – y_{s}}{1} = y_{1} – y_{s}\)
Pour trouver la valeur de b il suffit de regarder à quel endroit la fonction quadratique coupe l’axe y.
Attention!
Il est obligatoire de prendre \(x_{1} = x_{s} + 1\) pour pouvoir calculer a et cela marche uniquement pour une fonction quadratique de la forme \(x \mapsto ax^2 + b\).
Pour trouver la valeur de b il suffit de regarder à quel endroit la fonction quadratique coupe l’axe y.
Remarque!
Si la valeurs de a est positive alors la fonction formera un U alors que si la valeur de a est négative la fonction formera un ∩. Plus la valeur absolue de a plus la fonction quadratique sera « serrée » et plus la valeur absolue de a sera proche de 0 et plus la fonction quadratique sera « large ».
Exemple
Exerices
Arriveras-tu à trouver les expressions fonctionnelles de ces 2 fonctions quadratiques?
Solution
Trouver la valeur de a :
- Coordonnée du sommet : \(x_{s}; y_{s} = (0 ; 1)\).
- \(x_{1} = 0 + 1 = 1; y_{1} = f(1) = 0\).
- \( a = \frac {y_{1} – y_{s}}{x_{1} – x_{s}} = \frac {0 – 1}{1 – 0} = – 1\).
Trouver l’ordonnée à l’origine b :
La fonction h coupe l’axe y en y = 1 et ainsi b = 1.
La fonction h s’écrit : \(h(x) = -1x^{2} + 1 = – x^{2} + 1\)
Trouver la valeur de a :
- Coordonnée du sommet : \(x_{s}; y_{s} = (0 ; – 4)\).
- \(x_{1} = 0 + 1 = 1; y_{1} = f(1) = – 3.5\).
- \( a = \frac {y_{1} – y_{s}}{x_{1} – x_{s}} = \frac {- 3.5 – ( -4 )}{1 – 0} = 0.5\).
Trouver l’ordonnée à l’origine b :
La fonction h coupe l’axe y en y = -4 et ainsi b = -4.
La fonction i s’écrit : \( i(x) = -1x^{2} + 1 = 0.5x^{2} – 4\)
Un peu d'histoire
C’est au XIVe siècle qu’apparaît la notion de fonction.
Nicolas Oresme (1320 – 1382), d’abord évêque de Lisieux puis conseiller du roi Charles V, cherche à quantifier la variation de phénomènes physiques comme la chaleur, la densité, la vitesse.
Il appelle “qualité” de telles grandeurs variables et établit, à l’aide d’une des premières représentations graphiques, une relation entre le temps et la vitesse.
Avec le français François Viète (1540-1603) qui introduit de façon systématique le calcul littéral (voir histoire du symbolisme algébrique), vient le temps des formules.
La notion de fonction, qui était alors uniquement associée à une courbe, va maintenant être lié à une formule comme le met en évidence la célèbre formule de Galilée en 1623 qui propose ses lois sur la chute des corps.
A la fin du XVIIe siècle, la notion de fonction en tant qu’objet mathématique n’est pas encore isolée. Il faudra, de fait, attendre le milieu du XVIIIe pour en avoir une première définition.
Le terme de fonction est introduit par le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) en 1673 dans un manuscrit inédit “La Méthode inverse des tangentes ou à propos des fonctions”.
Cette définition se retrouve dans des articles de 1692 et 1694 et est reprise par le mathématicien suisse Jean Bernoulli (1667-1748) en 1697.
Le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 – 1783) propose une 3ème définition pour la notion de fonction.
“Une fonction est une expression analytique composé d’une manière quelconque de cette quantité variable et de nombres ou de quantités constantes.”
